• Cần giúp đỡ? Hãy gọi:   0938.788.458
Tất cả danh mục
Tự động

Thiết lập mô hình toán cho các hệ thống động lực học

Trong phần này ta sẽ xem xét việc thiết lập mô hình toán và các mô phỏng trong máy tính cho các hệ thống động lực học. Khi nghiên cứu về tự động điều khiển, ta cần phải có khả năng thiết lập được mô hình toán của các hệ thống động lực học và có thể phân tích được các đặc tính động lực học của hệ. Một mô hình tóa của một hệ thống động lực được hiểu là một hệ các phương trình có thể mô tả được các thuộc tính động lực học của hệ một cách khá chính xác. Với mỗi hệ thống cho trước ta có không chỉ một mô hình toán duy nhất, mà tùy thuộc vào cách phân tích hệ thống và quan điểm của người phân tích ta sẽ có nhiều mô hình toán khác nhau. Trong phần này, ta chỉ tìm cách thiết lập các mô hình toán thể hiện được quan hệ của đầu ra đối với đầu vào của một hệ.

1 Các khái niệm cơ bản.

Các mô hình toán của hệ động lực

Giải pháp mô phỏng động lực học MotionSolve

Bước đầu tiên trong phân tích hệ thống động lực học là tìm ra được mô hình toán của nó. Điều quan trọng là tìm được một mô hình thích hợp, vừa phải. Mô hình toán của một hệ có thể được thiết lập ở nhiều dạng khác nhau. Tùy thuộc vào hệ cụ thể và vào trường hợp cụ thể, mô hình toán học này có thể tốt hơn mô hình toán học khác. Ví dụ trong điều khiển tối ưu, ta nên dùng mô hình toán trạng thái (State-space model) cho hệ. Còn khi phân tích đáp ứng quá độ hay đáp ứng tần số của các hệ thống tuyến tính hệ số hằng, một đầu vào, một đầu ra thì mô hình dưới dạng hàm truyền lại có nhiều thuận tiện hơn. Khi đã có được mô hình toán cho một hệ, ta có thể dùng nhiều công cụ phân tích và máy tính để phân tích và tổng hợp hệ thống.

Sử dụng mô hình trạng thái lại rất thích hợp cho các hệ có nhiều đầu vào, nhiều đầu ra (MIMO) và ứng dụng được nhiều công cụ thiết kế hệ thống nhờ máy tính.

Tính đơn giản và tính chính xác

Ta có thể nâng cao tính chính xác của mô hình tóa của hệ nhờ tăng tính phức tạp của chúng lên. Song, khi đó ta có thể phải dùng đến hàng trănm phương trình toán để mô tả một hệ thống, việc tính toán sẽ cực kỳ phức tạp. Vậy, cần phải cân nhắc giữa tính đơn giản và tính chính xác của các kết quả phân tích của một mô hình toán. Nhìn chung, chỉ nên dùng một mô hình vừa phải cho một hệ với một tình huống cụ thể. Không có mô hình nào đáp ứng tốt cho mọi tình huống diễn ra trong hệ cả. Vậy, tính đơn giản vẫn là mục tiêu nên được ưu tiên.

Các hệ tuyến tính

Một hệ được gọi là tuyến tính nếu nó thỏa mãn tính xếp chồng, hay còn gọi là tính độc lập tuyến tính. Nguyên lí xếp chồng nói rằng đáp ứng được tạo ra bởi tác động đồng thời của hai hàm kích thích khác nhau là tổng của hai đáp ứng riêng rẽ của hệ đối với từng kích thích một. Vậy, với hệ tuyến tính, ta có thể tính đáp ứng của hệ với nhiều kích thích vào khác nhau bằng cách xem xét lần lượt tứng đáp ứng của hệ đối với từng kích thích vào. Sau đó cộng các kết quả lại ta có đáp ứng chung của hệ. Như vậy ta có được một đáp ứng phức tạp từ nhiều đáp ứng đơn giản hơn nhiều.

Các hệ phi tuyến

Hệ là phi tuyến khi nó không thỏa mãn tính xếp chồng. Vậy, với hệ phi tuyến, đáp ứng của hệ với hai đầu vào cùng lúc không thể được đánh giá bằng cách xử 1 đáp ứng của hệ đối với từng đầu vào riêng rẽ sau đó công gộp hai đáp ứng lại để có kết quả cuối cùng. Sau đây
là một vài ví dụ về hệ phi tuyến.

image(223).png

Mặc dầu có rất nhiều quan hệ vật lý được mô tả bằng các phương trình tuyến tính, nhưng hầu hết các quan hệ đó không phải là tuyến tính. Nghiên cứu kỹ các hệ này cho thấy rằng thậm chí đối với các hệ được coi là tuyến tính cũng chỉ thực sự tuyến tính trong một phạm vi hoạt động hữu hạn thôi.

Xử lý các mô hình phi tuyến thường rất phức tạp. Người ta thường thay thế các mô hình phi tuyến bằng mô hình tuyến tính tương đương cho việc tính toán được đơn giản hơn. Mô hình tương đương này chỉ thỏa mãn tính tuyến tính trong một phạm vi hoạt động nhất định. Khi hệ đã được tuyến tính hóa, ta có thể sử dụng rất nhiều công cụ tuyến tính để phân tích và thiết kế hệ thống.

Tuyến tính hóa các hệ phi tuyến

Trong công nghệ điều khiển, điểm làm việc bình thường của hệ thống có thể là ở xung quanh một điểm cân bằng và các tín hiệu có thể được coi là các tín hiệu độ lệch nhỏ xung quanh điểm cân bằng. Vậy, nếu hệ được coi là làm việc xung quanh điểm cân bằng, và nếu các tín hiệu liên quan là các tín hiệu nhỏ, thì ta có thể lấy gần đúng một hệ phi tuyến bằng một hệ tuyến tính tương đương trong một phạm vi hoạt động hữu hạn. Hệ tuyến tính tương đương như vậy có vai trò rất quan trọng trong công nghệ điều khiển.

2 Tuyến tính hóa các mô hình toán học phi tuyến.

Có rất nhiều công cụ và phương pháp tuyến tính hóa khác nhau được dùng trong điều khiển. Sau đây ta chỉ xem xét một phương pháp đơn giản dựa vào chuỗi khai triển Taylor xung quanh điểm làm việc để thiết lập mô hình toán tuyến tính tương đương.

Để có được mô hình toán tuyến tính thay cho một hệ phi tuyến, ta xem như các biến của hệ chỉ biến thiên nhỏ xung quanh giá trị cân bằng. Giả sử ta có một hệ có đầu vào là x(t) và đầu ra là y(t). Quan hệ giữa đầu ra với đầu vào có dạng

2-37

y=f(x)

Nếu các giá trị tại các điểm làm việc tương ứng là (%*, y*), vậy phương trình (2-37) có thể được khai triển thành chuỗi Taylor xung quanh điểm làm việc này như sau

2-38

image(224).png

Trong đóimage(225).png,  là các đạo hàm tương ứng được xác định tại x = x*. Nếu độ lệch (x — x*) là nhỏ, ta có thể bỏ qua các thành phần bậc cao của (x — x*). Vậy phương trình (2-38) có thể được viết lại thành

2-39

y = y* + K(xx*)

Trong đó

y* = f(x*);image(226).png

Và phương trình (2-39) được viết thành

2-40

y — y* = K(x — x*)

Từ phương trình này ta thấy (y — y*) tỷ lệ với (x — x*). Phương trình (2-40) là mô hình toán tuyến tính tương đương của phương trình (2-37) ở gần điểm làm việc x = x* và y = y* .

Nếu hệ tuyến tính có đầu ra phụ thuộc vào hai hoặc nhiều biến đầu vào, xi và x2 như sau

2-41

f= f(x1, X2)

ta có thể tuyến tính gần đúng hệ này theo khai triển Taylor xung quanh các điểm làm việc bình thường x1*, x2* . Phương trình (2-41) có thể viết thành:

2-42

image(227).png

Trong đó các đạo hàm riêng được đánh giá tại image(228).png. Tại lân cận các điểm làm việc ta có thể bỏ qua các thành phần bậc cao. Mô hình toán tuyến tính của hệ phi tuyến(2-41) xung quan h các điểm làm việc bình thường có thể được viết thành

2-43

image(229).png

Trong đó:

image(230).png

Mô hình tuyến tính dạng này chỉ phù hợp đúng cho lân cận các điểm làm việc bình thường. Cách xa điểm tuyến tính hóa thì sai số rất lớn. Nếu các biến thay đổi quá nhiều xung quanh điểm làm việc thì ta cần dùng các kỹ thuật tuyến tính hóa dạng khác để thiết lập mô hình tuyến tính tương đương.

image(231).png

Hình 2-7 minh họa cho phép tuyến tính hóa hàm một biến f(x), trong đó f là hàm không tuyến tính của biến độc lập x. Giả sử hệ thống thường làm việc tại điểm P: (x*, f*), có thể coi là điểm làm vbiệc định mức v.v. Giả sử điểm A: (x, f) là một điểm làm việc điển hình khác của hệ. Ta kẻ đoạn thẳng (l1) đi qua P và A. Vậy, ta định nghĩa:

2-44

image(232).png

Trong đó, (t) là biến thời gian trong các hệ động lực học. Ax A/ là các số gia tương ứng của x và f. Lưu ý rằng dấu (*) biểu thị thông số tại điểm thường xuyên làm việc của hệ. Nếu Δx và Δf cực nhỏ thì đoạn (l1) chuyển thành đoạn thẳng (L2), mà nó được xác định là tiếp tuyến (biểu diễn của đạo hàm) của đường cong f(x) tại điểm P. Ta gọi độ dốc của đường tiếp tuyến (L2) này là m, vậy

image(233).png

Như vậy, m chính là đạo hàm df/dx tại điểm thường làm việc P. Kết quả là phương trình của đường tiếp tuyến (I2) có thể được viết thành

2-45 

image(234).png

Do vậy, nếu ta chuyển tọa độ thành Ax và A/ thì biểu thức 2-45 mô tả một đoạn thẳng (I2), có độ dốc m, đi qua điểm gốc tọa độ mới là P, như trong Hình 2-8.

image(235).png

Hình 2-8: Gần đúng tuyến tính (L2) của hàm phi tuyến f(x) tương đối trong hệ trục tọa độ mới Δx và Δf.

3 Ví dụ lập mô hình toán hệ động lực

Trong các hệ thống tàu thủy, hệ điều khiển tốc độ quay của trục động cơ diesel, lai chân vịt hoặc lai máy phát điện là rất phổ biến. Sau đây ta xem xét một hệ điều khiển vòng quay diesel chính lai trực tiếp chân vịt, có dùng một bộ điều tốc cơ khí tác động trực tiếp xem .

image(236).png

Hình 2-9: Hệ thống điều khiển tự động vòng quay diesel lai trực tiếp chân vịt tàu thủy

Tóm tắt hoạt động của hệ như sau. Động cơ diesel lai trực tiếp chân vịt biến bước hoặc chân vịt định bước với ly hợp, hoặc một máy phát điện. Vòng quay của động cơ là một trong hai biến quyết định công suất của một động cơ có chuyển động trục quay tròn.

2-46

image(237).png

Do vậy, việc điều khiển tốc độ quay của trục động cơ là rất thiết thực. Gần đúng, mô men trên trục động cơ là hàm của vị trí thanh răng nhiên liệu (h) của bơm cao áp cấp nhiên liệu vào động cơ. Động cơ truyền chuyển động quay cho mâm quả văng, do vậy là cho quả văng ly tâm, thông qua một hệ thống truyền động bánh răng. Khi quả văng quay nó sản sinh ra lực ly tâm (F*lt) tại các quả văng, ta cho là có 2 quả văng như trên hình, lực ly tâm này có xu hướng kéo ra ngoài làm các quả văng có xu hướng ly tâm.

2-47

image(238).png

2-48

image(239).png

Tuy nhiên, do chỉ dùng các số liệu có tính minh họa nên để đơn giản trong tính toán và dễ hiểu, ta coi Flt chỉ tỷ lệ với vòng quay theo

2-49

image(240).png

Do quả văng gắn với một cần chữ L, cho nên lực ly tâm này chuyển thành lực một lực hướng từ dưới lên, đẩy vào đế dưới vòng bi chặn, do vậy là vào đế dưới lò xo đặt tốc độ. Để giữ quả văng ở vị trí cân bằng (quả văng quay nhưng có vết quay thẳng đứng như trên hình) lò xo đặt tốc độ phải tạo ra được một lực căng (Flx) đẩ’y từ trên xuống hòng cân bằng với lực ly tâm (Flt) của quả văng. Để cho đơn giản trong tính toán, ta cho hai nhánh L dài bằng nhau, cho nên

2-50

image(241).png

Như vậy, vòng bi chặn là nơi mà các lực này đối chọi nhau. Ta có thể thay đổi sức căng lò xo (Flx) bằng cách thay đổi độ nén ban đầu của lò xo dl, thông quay tay đặt tốc độ. Lực lò xo đặt tốc độ được tính theo

2-51

image(242).png

image(243).png

Hình 2-10: Các trạng thái của lò xo đặt tốc độ trong một bộ điều tốc cơ khí

Giả sử ta đặt trước độ nén cho lò xo là (dl0), tương ứng ta có (Flxo). Khi động cơ chưa quay, lò xo đặt tốc độ luôn đè cho vấu quả văng xuống dưới, tỳ vào mâm quả văng, do vậy hai quả văng cụp hết cỡ vào trong. Đế dưới lò xo ở vị trí thấp nhất, vị trí (1) Hình 2-10. Điểm A của thanh ABC nằm ở vị trí (Ao) thấp nhất, đẩ’y cho điểm C lên vị trí cao nhất (C0). Do vậy, thanh răng nhiên liệu của bơm cao áp ở vị trí cao nhất (hmax >20 vạch), sẵn sàng cấp mức nhiên liệu cao nhất vào buồng đốt động cơ. Độ nén thực tế của lò xo chỉ là dl1 = dl0 -  dl1*

Khi động cơ được khởi động, trục động cơ bắt đầu quay được bằng nguồn gió nén bên ngoài, các quả văng cũng tức thì quay theo, với tốc độ (n = K. n). Lực ly tâm bắt đầu xuất hiện và các quả văng bắt đầu văng xa tâm. Do thanh răng nhiên liệu ở vị trí max cho nên lúc đầu lượng nhiên liệu cấp vào động cơ là max, động cơ sinh công và tăng tốc độ. Sau đó, quả văng kéo nhiên liệu giảm đi và ổn định ở ví trí như trên hình, tương ứng chế độ không tải. Giả định, thanh răng nhiên liệu nhận vị trí ho = 10 mm (vạch). Tại trạng thái này, đế dưới lò xo chuyển về vị trí cân bằng, lò xo chỉ còn bị nén khoảng dl2 = dl0.

Lúc này, nếu ta đóng ly hợp cho chân vịt quay, hoặc chuyển bước chân vịt từ “0” lên (H/D max ), hoặc cho động cơ nhận tải định mức, thì vòng quay động cơ tức thì giảm xuống. Quả văng bị cụp vào, điểm (A) bị di chuyển xuống dưới và cuối cùng ổn định ở (A1) để cho (C) lên (C1) làm tăng (ho=1O mm) -> (hf =20 mm). Như vậy, từ không tải đến đầy tải, động cơ đã phải dùng thêm lượng nhiên liệu tương ứng he =hf - h0 = 20 mm - 10 mm = 10 mm. Ta gọi (he) là phần thanh răng có ích, tương ứng là lượng nhiên liệu có ích. Gần đúng, ta có coi hiệu suất động cơ tính theo

image(244).png

Trong trường hợp này

image(245).png

Giá trị này là lý tưởng. Các động cơ thực có giá trị hiệu suất có ích thấp hơn, khoảng từ 25-45% tùy vào tuổi, kiểu loại và tình trạng kỹ thuật của động cơ.

Lưu ý rằng, do phải tăng thêm lượng nhiên liệu tương đương he = 10 mm cho nên nếu b/a =BC/BA= 2 thì A — A1 = 5mm, tức là đế dưới lò xo phải nhích xuống dưới, giãn lò xo ra một đoạn dl*3. Vậy, thực tế lò xo chỉ còn bị nén một lượng là dl3:

image(246).png

Như vậy, lực căng lò xo giảm, tức là tốc độ đặt trước giảm, và vòng quay động cơ cũng giảm đi một lượng tương ứng để cho lực ly tâm quả văng cân bằng được với giá trị lực lò xo mới Flx3. Động cơ làm việc có sai tĩnh dương.

Bây giờ, ta sẽ lập các biểu thức cần thiết thể hiện quá trình điều khiển vừa mô tả trên, từ đó xây dựng các khối chức năng và sơ đồ khối thể hiện hoạt động và mối tương tác giữa các thành phần trong hệ.

Số liệu:

  • Khối lượng quả văng: m=0.955 kg
  • Bán kính quay quả văng: R = 0.05m
  • Vòng quay không tải: n0g = n =550 v/p (K=ng/n = 1)
  • Vòng quay đầy tải: nf = 500 v/p
  • Chiều dài lò xo tự do: l0 = 200 mm
  • Độ cứng lò xo: Klx = 0.1 kgf/mm

1- Tính lực ly tâm quả văng khi máy chạy không tải, FLT0 (kgf), theo công thức 2-49

image(247).png

2- Tính độ nén ban đầu của lò xo dl0 (mm)

Khi động cơ chạy không tải ổn định, n0 = 550 (v/p), thì

image(248).png

Vậy

image(249).png

3- Tính chuyển vị của e(t) khi máy chạy từ không tải sang đầy tải

Do he = hf — h0 = 20 mm — 10 mm = 10 mm và b/a = 2 cho nên

image(250).png

Tóm tắt

Bài tập

  1. Theo  Hình 2-6 A , hãy rút gọn sơ đồ khối này theo hướng chuyển điểm rẽ nhánh tín hiệu từ mạch chính vào khâu H1 về trước khâu G3.
  2. Rút gọn sơ đồ khối sau đây

Điều khiển tự động, Bùi Hồng Dương