1 Phép biến đổi Laplace

1.1Phép biến đổi Laplace

a Biến phức

Một số phức bao gồm phần thực và phần ảo, cả hai phần này đều là hằng số. nếu phần thực và / hoặc phần ảo là biến theo thời gian thì số phức đó được gọi là biến phức. trong phép biến đổi Laplace, ta dung ký hiệu “s'"như là một biến phức; nghĩa là:

s = ơ +jω

trong đó ơ là phần thực còn m là phần ảo.

b Hàm phức

Một hàm phức, là hàm của biến phức s, có một phần thực và một phần ảo

F(s) = Fx + jFy

trong đó:

• Fx và Fy là các đại lượng thực.
• Biên độ của F(s) là
• Góc θ của F(s) là

Góc này được đo ngược chiều kim đồng hồ từ trục thực dương.

c Phép biến đổi Laplace

Giả sử ta có các định nghĩa sau:

f(t) = một hàm theo thời gian sao cho f(t) = 0 với t<0;

s = biến phức;

L = ký hiệu toán tử, cho biết rằng địa lượng đứng sau nó sẽ được biến đổi bởi tích phân Laplace :

F(s) = Biến đổi (hoặc “ảnh”) Laplace của f(t).

Khi đó, phép biến đổi Laplace của f(t) được xác định bằng:

2-1

Quá trình biến đổi ngược để tìm hàm theo thời gian f(t) từ ảnh Laplace F(s) được gọi là biến đổi Laplace ngược. Ký hiệu toán học của phép biến đổi Laplace ngược là L^-1. Vậy,

2-2

L^-1[F(s)] = f(t)

1.2 Một số hàm cơ bản và ảnh Laplace của chúng

Hàm số mũ (exponential function)

Hàm số mũ được biểu diễn như sau:

f(t) =      0             với t<0

f(t) =    Ae^-αt      với t>0

trong đó α là hằng số.

Ảnh Laplace của hàm này có thể tính như sau

2-3

Hình 2-1: Hình dạng các hàm đầu vào cơ bản

Hàm bước (step function)

Hàm bước được biểu diễn như sau:

f(t) =      0             với t<0

f(t) =     A             với t>0

trong đó A là một hằng số. Ta có thể thấy đây là trường hợp đặc biệt của hàm Ae^-αt với α=0. Hàm bước không xác định khi t=0. Ảnh Laplace của nó tính như sau:

2-4

Trường hợp riêng khi A=1 ta gọi hàm bước đó là hàm bước đơn vị, có dạng sau:

f(t) = 0 với t<0;

f(t) = 1 với t>0;

Ảnh Laplace của nó có dạng:

2-5

Hàm dốc (Ramp Function)

Hàm dốc có dạng sau:

f(t) =      0               với t<0

f(t) =      A.t            với t>0

Trong đó A= const. Ảnh Laplace của nó được xác định như sau:

2-6

Hàm Sin (Sinunoidal Function)

Hàm sin có dạng

f(t) = 0 với t<0

Asinωt với t>0

Bằng cách viết lại hàm Sin dưới dạng hàm mũ tương đương:

2-7

Ta sẽ tìm ảnh Laplace như sau

2-8

Tương tự, ta có

2-9

Hàm trễ

Ta sẽ tìm ảnh Laplace của hàm trễ

2-10

f(t — α). 1(t — α)

trong đó a>0. Hàm này bằng 0 khi t<a. Xem Hình 2-1.

Theo định nghĩa, phép biến đổi Laplace của f(t — α). 1(t — α) sẽ như sau

2-11

Bằng cách thế biến độc lập từ t sang T, trong đó T = t - a, ta có

Lưu ý rằng, trong tài liệu này ta luôn cho f(r). 1 (t) = 0 T < 0, do vậy ta có thể đổi cận dưới của tích phân từ -a về 0. Do vậy ta có,

Trong đó

Do vậy

2-12

Nghĩa là, ảnh Laplace của hàm f(t)1(t) khi bị đẩy trễ đi một lượng là a>0 sẽ tìm được bằng cách nhân ảnh Laplace của hàm f(t) là F(s) với e^—as.

Hàm xung răng lược (Pulse function).

2-13

Trong đó A, to là hằng số.

Có thể coi hàm này là cộng gộp của một hàm bước (t) bắt đầu khi t > 0 với một hàm bước -A/t_o (t) bắt đầu khi t > t₀. Do vậy,

Ảnh Laplace của nó sẽ tìm được như sau:

2-14

1.3 Các định lý cơ bản

1.3.1 Định lý Vi phân thực

Định lý vi phân thực được thể hiện như sau. Ảnh Laplace của đạo hàm của hàm f(t) có dạng

2-15

và có thể được chứng minh như sau.

Lấy tích phân Laplace của hàm f(t) ta có

Do vậy,

Cho nên đương nhiên

Tương tự, với đạo hàm bậc hai, ta có

2-16

và đạo hàm bậc n

2-17

Lưu ý rằng theo định nghĩa phép biến đổi Laplace thuận thì mọi điều kiện đầu bằng không, cho nên ảnh Laplace của đạo hàm bậc n của f(t) sẽ là sⁿF(s).

2-18

Định lý tích phân thực.

 Nếu f(t) có thể biểu diễn theo hàm số mũ của e thì ị/(t) dt có ảnh Laplace và được cho dưới dạng

2-19

• F(s) là ảnh Laplace của f(t)
• được lượng giá khi t=0.

Định lý này được chứng minh như sau:

Nếu các điều kiện đầu bằng không, ta có

2-20

Định lí giá trị cuối.

Định lí giá trị cuối cho biết mối liên hệ giữa giá trị của hàm f(t) ở trạng thái ổn định (cân bằng) với giá trị của sF(s) tại lân cận s=0. Định lí này được áp dụng nếu tồn tại lim_{0 to Infinity} f(t) , nghĩa là f(t) nhận giá trị hữu hạn nào đó khi

Định lí được phát biểu như sau:

Để chứng minh định lí này, trong phương trình của ảnh Laplace của df(t)/dt ta cho s tiến tới 0, hay

Từ đó ta có

2-21

Dựa vào định lí này ta có thể xác định được giá trị cân bằng ổn định của f(t) từ giá trị của sF(s) tại lân cận s=0.

Nhận xét:

Không nhất thiết phải luôn tìm ảnh Laplace như trên. Trong tự động, các hàm số mà ta thường khảo sát thường có một số dạng cơ bản, do vậy người ta đã lập ra được bảng nguyên hàm và ảnh Laplace của nó để’ ta tiện tra cứu. Ngoài ra các bạn có thể dùng các chương trình như MATLAB, MAPLE để tìm ảnh Laplace của các hàm khá dễ dàng.

1.4Các tính chất cơ bản của phép biến đổi Laplace thuận (Bảng 2-1)

Bảng 2-1: Các tính chất của biến đổi Laplace

 

Điều khiển tự động, Bùi Hồng Dương