2 Hàm truyền

2.1 Khái niệm hàm truyền:

Trong tự động điều khiển, hàm truyền thường được dùng để đặc trưng cho quan hệ vào-ra của các thành phần hay của các hệ thống vốn có thể mô tả được bằng các phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng.

Vậy, hàm truyền của một hệ thống phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng được định nghĩa là tỷ số giữa ảnh Laplace của đầu ra (hay hàm đáp ứng) chia cho ảnh Laplace của đầu vào (hay hàm tác động) với giả định là mọi điều kiện đầu đều bằng không.

2.2 Biểu thức tổng quát của hàm truyền:

Giả sử có một hệ thống tuyến tính hệ tĩnh (hệ số hằng) được mô tả bằng phương trình vi phân sau

2-22Trong đó y là đầu ra, còn x là đầu vào. Ta có được hàm truyền của hệ thống này nhờ phép biến đổi Laplace cả hai vế của phương trình để có ảnh Laplace của đầu ra và đầu vào với giả định là mọi điều kiện đầu đều bằng không:

2-23

Với khái niệm hàm truyền ta có thể’ biểu diễn động lực học hệ thống bằng các phương trình đại số của s. Nếu số mũ cao nhất của s ở mẫu số của hàm truyền là n thì ta nói rằng hệ thống có bậc n.

Nhận xét về hàm truyền

Các ứng dụng của hàm truyền bị giới hạn trong các hệ thống tuyến tính hệ số hằng (nghĩa là các thông số của hệ không thay đổi theo thời gian) và được sử dụng thường xuyên trong phân tích các hệ thống dạng này.

• Hàm truyền của một hệ thống là một mô hình toán học chứa đựng phương thức biểu diễn bằng phương trình vi phân mối liên hệ của biến đầu ra đối với biến đầu vào.
• Hàm truyền chính là một thuộc tính của một hệ thống, độc lập với cường độ và bản chất của đầu vào (hay biến tác động).
• Hàm truyền bao gồm các phần tử cần thiết để thể hiện mối liên hệ của đầu vào đối với đầu ra. Tuy nhiên, nó không cho ta biết bất kỳ thông tin nào về cấu trúc vật lý của hệ thống mà nó mô tả. Nghĩa là, hàm truyền của rất nhiều hệ thống vật lý khác nhau lại hoàn toàn giống nhau.
• Nếu ta biết được hàm truyền của một hệ thống, ta có thể nghiên cứu đầu ra hay đáp ứng của hệ thống đối với một loạt dạng đầu vào khác nhau nhằm hiểu rõ bản chất của hệ thống.

Nếu ta không thể tìm được hàm truyền của một hệ thống bằng các phép mô tả toán học thông dụng, ta có thể tìm hàm truyền của hệ bằng thực nghiệm, bằng cách áp dụng một số các tín hiệu vào cho trước rồi nghiên cứu đáp ứng đầu ra của hệ thống. Khi đã tìm được, hàm truyền này thể hiện các đặc trưng động lực học của hệ thống, khác với mô tả vật lý của hệ.

3 Xây dựng và biến đổi sơ đồ khối

3.1 Sơ đồ khối của mạch kín.

Hình 2-2 giới thiệu một sơ đồ khối của mạch kín. Tín hiệu ra, hay là biến được điều khiển Y(s)=G(s).E(s) theo định nghĩa về hàm truyền. Tín hiệu Y(s) sẽ được hồi tiếp về điểm so sánh, thông qua khối cảm biến và thành một tín hiệu C(s) là đại diện cho Y(s). Tín hiệu ra E(s) từ điểm so sánh là kết quả cộng đại số của hai tín hiệu vào: cho trước (hay tham chiếu) R(s) và hồi tiếp C(s). Vậy, E(s) = R(s) - C(s). Như vậy, quan hệ giữa các tín hiệu, chức năng của từng khối được thể hiện rất rõ ràng trên sơ đồ khối. Trong một sơ đồ khối sẽ có nhiều khối, điểm so sánh (cộng tín hiệu) và các điểm rẽ nhánh.

Hình 2-2: Sơ đồ khối của mạch kín (có phản hồi)

Biến được điều khiển khi được đưa về điểm so sánh phải có cùng dạng tín hiệu, bản chất vật lí, đơn vị đo với tín hiệu vào cho trước nhờ các chuyển đổi cần thiết. Ví dụ trong Hình 2-2, nếu R(s) có dạng là lực, áp suất hay điện áp đại diện cho nhiệt độ cho trước (nhiệt độ ta muốn có), còn Y(s) là nhiệt độ cần được điều khiển, vậy trước khi Y(s) được gửi về điểm so sánh để cộng hoặc trừ với R(s) tạo ra tín hiệu độ lệch E(s), nó cần phải được chuyển đổi thành một đại lượng C(s) có tính chất giống với R(s) thông qua khối cảm biến có hàm truyền H(s), C(s)=H(s).Y(s).

3.2 Hàm truyền của hai khâu mắc nối tiếp

Hai khâu nối tiếp có hàm truyền G1(s) và G2(s), xem Hình 2-3 A. Theo định nghĩa hàm truyền, ta có

2-24

Hình 2-3: Rút gọn các khối nối tiếp, song song và có phản hồi

3.3 Hàm truyền của hai khâu mắc song song

Hai khâu mắc song song như trên Hình 2-3 B, tín hiệu ra của hai khâu đi vào điểm cộng tín hiệu. Khi đó ta có

2-25

Tương tự, nếu có n khâu mắc song song thì hàm truyền tổng của các khâu mắc song song sẽ là

2-26

3.4 Hàm truyền mạch hở và hàm truyền mạch cấp tới.

Theo Hình 2-3 C. Tỷ số của tín hiệu hồi tiếp C(s) chia cho tín hiệu độ lệch E(s) được gọi là hàm truyền mạch hở (open loop transfer function):

2-27

Hàm truyền mạch hở

Tỷ số của đầu ra Y(S) chia cho tín hiệu độ lệch tác động E(s) được gọi là hàm truyền mạch tiếp tới (Feedforward transfer function):

2-28

Hằm truyền mạch tiếp tới 

Nếu hàm truyền khâu hồi tiếp H(s) = 1, thì hàm truyền mạch hở bằng với hàm truyền mạch tiếp tới.

3.5 Hàm truyền mạch kín (Closed-loop transferfunction).

Nếu sơ đồ như Hình 2-3c được rút gọn thằnh một khối, với đầu vằo lằ R(s), đầu ra Y(s), hằm truyền của khối mới sẽ được xác định như sau. Từ điểm cộng tín hiệu ta có

Từ khối chính với hằm truyền G(s) ta có

Thế E (s) từ công thức trên vằo ta có

Cuối cùng ta có

2-29

Hàm truyền mạch kín 

Hàm truyền này thể hiện mối liên hệ giữa đáp ứng động lực học của mạch kín đối với động lực học của mạch hở và mạch tiếp tới.

Từ phương trình này, Y(s) được xác định theo

2-30

Vậy, đáp ứng đầu ra của hệ điều khiển mạch kín phụ thuộc cả vào hàm truyền của
mạch kín và bản chất của tín hiệu đầu vào.

3.6 Hàm truyền của mạch kín đối với nhiễu.

Hình 2-4 cho thấy một hệ mạch kín có nhiễu tác động. Trong hệ tuyến tính này có hai đầu vào, tín hiệu cho trước R(s) và nhiễu D(s). Ta có thể xét tác động của từng nhiễu lên đầu ra một cách độc lập bằng cách coi nhiễu còn lại có giá trị không. Tác động đồng thời của cả hai đầu vằo tới đầu ra sẽ được xét bằng cách cộng hai tín hiệu ra đối với hai đầu vào độc lập.

Hình 2-4: Sơ đồ khối mạch kín có nhiễu D(s)

Như vậy khi xét chỉ tác động của nhiễu D(s) lên đầu ra Y(s), ta có thể coi hệ đang làm việc với đầu vào tham chiếu R(s)=0, và ta có thể xét đáp ứng của hệ chỉ đối với nhiễu thôi. Khi đó đầu vào hệ là D(s), các khâu trong tuyến phản hồi có H(s) và G₁(s), đáp ứng đầu ra là Y_D(s) và hàm truyền có dạng

2-31

Tương tự, khi xét chỉ tác động của tín hiệu cho trước R(s) tới đầu ra, ta coi nhiễu D(s)=0, khi đó đáp ứng đầu ra là C_R(s) và hàm truyền có dạng

2-32

Đáp ứng của hệ đối với tác động đồng thời của hai đầu vào R(s) và D(s) sẽ là tổng của hai đáp ứng của hệ đối với từng đầu vào riêng rẽ. Nghĩa là

2-33

Từ các phương trình này ta rút ra một vài kết luận sau:

1. Nếu [ G₁(s)H(s) ] » 1 và [ G₁(s)G₂(s)H(s) ] » 1, thì hàm truyền [Y_D(s)/D(s)] 0, nghĩa là nhiễu hầu như không có tác động lên đầu ra của hệ thống. Đây chính là một trong số ưu điểm của mạch kín (có phản hồi).
2. Nếu [ G₁(s)G₂(s)H(s) ] >> 1 thì ta có thể bỏ qua 1 ở mẫu số của công thức hàm truyền đối với tín hiệu cho trước Yr(s)/R(s). Khi đó [Yr(s)/R(s)] →1/H(s), cho nên Y_R(s)/R(s) trở lên độc lập với G1(s), G2(s) và tỷ lệ nghich với hàm truyền khâu phản hồi H(s). Do đó các sự thay đổi của G1(s) và G2(s) không ảnh hưởng đến hàm truyền của mạch kín Y_R(s)/R(s) . Đây chính là một ưu điểm khác của mạch kín (có phản hồi). Ta có thể thấy rằng khi hàm truyền của khâu phản hồi H(s) = 1, mạch phản hồi có xu hướng cân bằng đầu ra với đầu vào của hệ.

3.7 Thủ tục vẽ một sơ đồ khối.

Để vẽ được một sơ đồ khối cho một hệ thống, trước tiên chúng ta tìm cách viết được các phương trình mô tả đáp ứng động lực học của từng phần tử trong hệ. Sau đó lấy các ảnh Laplace của các phương trình này với giả định các điều kiện đầu bằng không, rồi đặt mỗi phương trình ảnh laplace vào một khối riêng. Cuối cùng, ghép các phần tử vào một sơ đồ khối hoàn chỉnh.

Sau đây là một ví dụ. Một mạch RC như trong hình 2-5a. Các phương trình của mạch này là

Ảnh Laplace của các phương trình trên với điều kiện đầu bằng không có dạng

2-34

2-35

Phương trình 2-34 thể’ hiện hoạt động cộng tín hiệu, tương ứng là sơ đồ khối như Hình 2-5 B. Phương trình 2-35 biểu diễn cho sơ đồ Hình 2-5 C. Khi ráp nối hai sơ đồ này lại, ta có được hình 2-5 D là sơ đồ khối tổng thể của hệ thống.

Hình 2-5: Thủ tục vẽ một sơ đồ khối. Mạch R-C

3.8 Rút gọn sơ đồ khối.

Cần lưu ý rằng các khối chỉ được ráp nối tiếp nhau nếu tín hiệu ra của một khối không bị ảnh hưởng bởi các khối sau nó. Nếu có hiệu ứng qua lại giữa các bộ phận thì cần phải kết hợp các bộ phận đó thành một khối đơn.

Các khối không bị hiệu ứng tải có liên hệ nối tiếp với nhau có thể được thay thế bằng một khối đơn có hàm truyền bằng tích các hàm truyền của các khối riệng biệt, G=G1.G2.

Các khối mắc song song nhau có thể được thay bằng một khối có hàm truyền bằng tổng các hàm truyền của các khối riêng biệt. G=G1+G2...

Một sơ đồ khối gồm nhiều mạch vòng kín có thể được rút gọn dần từng bước nhờ sử dụng các quy tắc của đại số sơ đồ khối, xem BẢNG 2-2 kèm theo. Việc rút gọn sơ đồ khối giúp ta đơn giản hoá được các phép biến đổi toán học phức tạp và tiện cho việc tìm đáp ứng của hệ thống. Tuy nhiên càng rút gọn thì phương trình mô tả hệ thống càng trở thành rối rắm và không còn dễ phân tích quan hệ giữa các khối nữa, các điểm dị biệt mới xuất hiện.

Bảng 2-2: Các quy tắc cơ bản rút gọn sơ đồ khối

Khi rút gọn sơ đồ khối cần nhớ rằng:

• Tích của các hàm truyền trong mạch chính (cấp tới) phải được giữ không đổi.
• Tích các hàm truyền trong mạch vòng kín cũng phải được giữ không đổi.

Hình 2-6: Một ví dụ minh họa về việc rút gọn sơ đồ khối

Ví dụ 2-1

Xem xét hệ thống như trong Hình 2-6(a). Rút gọn sơ đồ khối này. Dời điểm so sánh thứ ba lên trước khâu G₁, áp dụng quy tắc 6, BảNG 2-2, ta có sơ đồ như Hình 2-6 (b). Chuyển điển so sánh thứ 3 lên trước khâu G1, áp dụng quy tắc 1, ta có Hình 2-6 (c). Loại bỏ mạch vòng có khâu G₁, G2, áp dụng các quy tắc 4 và 13, cho ta Hình 2-6 (D). Loại bỏ mạch vòng có H2/G1 ta có được sơ đồ Hình 2-6 (E). Cuối cùng, rút gọn mạch vòng kín còn lại cho ta Hình 2-6 (f) và chỉ còn 1 khối duy nhất.

Ta có nhật xét rằng tử số của hàm truyền rút gọn của mạch kín Y(s)/R(s) chính là tích của các hàm truyền của các khâu trong mạch tiếp tới (mạch thẳng chính). Còn mẫu số của Y(s)/R(s) bằng

2-36

(1 - tổng của các tích các hàm truyền của các mạch vòng khín bộ phận)

 Phản hồi dương cho ta dấu âm (-) trước các tích trong mẫu số.

Điều khiển tự động, Bùi Hồng Dương